棒棒策略用26年高等数学情缘感悟如何学好微积分

1999年，我步入大学殿堂，在懵懂之中开始学习微积分。在攻读完硕士、博士后，我从一名“挨踢民工”（IT谐音，喻指老程序员）辗转企业、政府、学校工作，成长为一名学校的教授，始终在使用和学习高等数学。26年的历程，与高等数学结下了一种“甩不掉、有点烦、离不开、喜欢它”的深厚情缘。也正是因为进入学校工作，使得我有时间可以静心思考和创作，以至于想把心路历程、数学感悟、学习方法分享给大家，来和大家谈谈如何学好微积分。

从应付考试过关到修行高等数学

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■ 图1 在学习和工作中感悟高等数学

图1展示了我在本科、硕士、博士求学阶段与工作阶段对高等数据的感悟，主要有3点：

1.大学要学专业先学高等数学，要学高等数学先学微积分

通常，理工科专业本科一年级第一学期就会先学微积分，部分涉及数据分析的文科类专业也会学。

我那时根本不知道微积分可以用来做什么，只是单纯地想要学好、过关、拿个好成绩。相信大多数人也是这种单纯的学习动机。大学里，我后续还学习了“线性代数”“概率论”这两门高等数学课程。“微积分”“线性代数”“概率论”这3门高等数学课程构成了很多专业高等数学基础的“铁三角”。

我大学读的是计算机科学与技术专业。大学期间，在学习上述三门高等数学课程后，我还学习了“离散数学”“高等物理”“模拟电路”“数字电路”“编译学原理”“算法分析与设计”等课程，它们都或多或少要用到微积分的一些知识。如果没有微积分知识作基础，听这些课程就会像听“天书”。

很多时候，我们需要在学习专业课程时回过头来复习高等数学知识。可以说，大学四年是提升数学修为的四年，也是读书的黄金时期。因此，我认为，“大学就是在不断提升数学修为。”

2.读研应突破高等数学隔墙，学后当具备“三种能力”

大学毕业后，迫于生计我选择了先就业后考研。工作之余，我坚持攻读了软件工程专业的硕士学位和控制科学与工程专业的博士学位。

刚进入研究生学习阶段时，我感叹优秀的学长们写出的学术论文满版都是数学公式，用数学表述推理、表述数据分析情况，再辅以高清的数据展现图。那时，我励志自己也要写出这样“高大上”的学术论文。

总感觉研究生阶段的自己在科学研究、工程实践之间摇摆不定，仿佛在二者之间有一堵隐形但又确实存在的隔墙。站在工程实践这边，如果突破不了则写的论文、做的工程项目不上档次；站在科学研究这边，如果突破不了则论文没有落地、研究实用价值不明显。一旦突破，则两边融会贯通。这堵隔墙就是高等数学。

幸运的是，我遇到的是湖南大学的硕士生导师王如龙教授、博士生导师章兢教授，他们都是既注重科学研究又注重工程应用的专家，一再要求从事的研究工作必须要有工程背景、实际应用。以此要求为基调，在硕士三年和博士四年的学习期间，我都在工程和科学的研究中保持了一种比较好的平衡。

软件的应用开发通常不需要太多的高等数学知识，但是做大数据技术的研发必然涉及机器学习的模型，模型背后的原理需要运用到大量的高等数学知识，其中也包括微积分。

我感觉到，作为一名硕士研究生、博士研究生，与本科生和普通的工程技术人员最大的区别就是“研究生通常是突破了隔墙的人”。更具体地说，研究生具备“三种能力”，即研究生能在科学研究与工程实践之间融会贯通，能用数学知识描述、计算并建立解决方案的模型，能动手运用数学知识解释工程原理并做出应用。这是我对研究生从事研究工作的朴素理解，要具备这“三种能力”，始终离不开高等数学。

在研究生阶段需要更多地进行自习，如果没有在大学里掌握微积分、线性代数、概率论，要研习并懂得做专业研究用到的数学知识几乎没有可能。例如，研究工程机械应力应变的有限元分析需要大量运用到微积分中的导数、积分等知识；研究人工智能领域的机器学习需要大量运用到极限、微分方程、偏导数等知识。

3.社会中方见高等数学功夫，感悟中领会高等数学力量

如果认为人生目标只是谋个生计、图口饭吃，我觉得不学高等数学也问题不大。但是，要做个有追求的人、在专业领域有所建树的人，至少从事理工科专业的人士不太可能离开高等数学。

首先，工程应用的背后运用到大量高等数学知识。我从事教育科学研究用到过支持向量机、神经网络等人工智能模型解决教育大数据分析的技术问题，有微积分、线性代数、概率论等知识作为背景，可以较好地理解模型的每个参数代表的意义，可以轻松自如地调节模型参数，从而取得较好的泛化能力用于预测。

其次，经过高等数学洗礼的人更具严谨的工作作风。为什么学习高等数学就是一种修为？并不是因为知识本身，而是因为在学习过程中可以积累起用高等数学描述和解决问题的严谨性，修炼出一种对人对事都“认真而又有节奏感”的数学修为。

最后，我喜欢在遇到纷杂的事务后到专业领域里来修身修心。每个人都有不同的爱好，有的人一有空就搓麻将消磨时光，有的人遇到心烦的事就邀约三五朋友喝酒唱歌。我更喜欢看看有高等数学知识的专业书，因为捧上一本专业书，心静下来了，人也平复了，再没有心烦的事，再没有纷纷扰扰；何况一进入学习状态，还能学到知识、提升价值。所以说，“有高等数学修为的人，想不优秀都难，这就是力量”。

纵观与高等数学的26年情缘，可以小结为“与其厌烦，不如拥抱；既做修行，当认真学习”。自此开篇，我和大家一起来再次学习微积分知识。

谈谈厌烦高等数学的原因及应对办法

■图2 厌烦高数的原因及对策

接下来，我想从普适的角度来谈谈为什么大家会厌烦高等数学。如图2所示，我们从三个角度来进行评判。

1.普遍厌烦高等数学的原因是什么

大家在社会中的分工不同，研究的专业领域不同，喜好自然也是不同。之所以普遍会对高等数学有点烦，我想无非三点原因。

第一点，高等数学里符号特别多，让人心生畏惧。这尤以微积分更甚。像“∑”“∏”“∫”这些大型运算符，一看就让人自然而然地产生一种压迫感。

第二点，普通的工作用不到高等数学，让人本能回避。通常加、减、乘、除等基本运算就能解决日常工作和生活的问题，不需要用到多么高深的数学知识。

第三点，高等数学的现有读物并不友好，让人提不起兴趣。市面上有关高等数学（特别是微积分的读物）的图书多为教材，无论是大学教材还是考研、自考用书，明显让人感觉枯燥。缘此，很少有人不厌烦高等数学。

2.为什么提倡大家学高等数学

我们应该不厌其烦地学习高等数学，原因有三。

其一，数学符号并不可怕。人天生对未知事物有恐惧感，如果熟悉并且理解了背后的方法，自然就不怕了。

其二，大学生与普通人的不同之处就是高等数学。我时常提醒教过的大学生: “作为一名大学生，不学懂弄通点与普通人不一样的高等数学知识，怎么能在专业领域有所建树和体现与别人的价值差异呢？”高等数学就是这样，如果基础打好了，会发现在专业知识领域可以有广阔的学习空间，可以解决不一般的问题，可以深入理解很多定论背后的原理。

其三，我真心想让图书活起来。现在我就是想做这样的一件事，让枯燥的高等数学变得有趣一点、容易一点、实用一点。“三个一点”加起来就会让高等数学形象很多。我非常愿意尝试这样的图书创作，惠及更多的普通人，使其成长为专业的、掌握高等数学知识的、不一般的劳动者。这本图书就是《人人可懂的微积分—用动态、微观、累加的观点来看待微积分》。

■ 图3 《人人可懂的微积分—用动态、微观、累加的观点来看待微积分》

3.怎么让自己不厌烦高等数学

想不厌烦高等数学就得想办法提起学习的兴趣，办法自然有很多。

第一种办法是激发学习动力。动力有很多种，通常可用目标导向法培育动力。例如，拿下微积分，通过自学课程考试；学好微积分，彻底明白机器学习背后的数学原理等。

第三种办法是正视学习困难。正视的办法就是学懂弄通，厚着脸皮请教同学、同事、群友等，让大家来帮助你解决困难。

只要时间允许，我更提倡大家读研、读博，继续提升自己的高等数学修为。

学习微积分要克服“一恐三难”

不论是哪类群体学习微积分，都面临着“一种恐惧心态”和“三点困难”。

一种恐惧心态: 面对数学符号的恐惧心态。我觉得，不能回避数学符号，而是要形象地理解这些数学符号背后的含义，辅以图形的方式把符号变成可清晰展现的画面。

第一点困难: 理解数学定义困难。如极限的定义、导数的定义，很多人初学微积分就会碰到这两个定义，所以一开始就感觉到困难。我觉得可以绕开那些晦涩难懂的术语定义，而改用通俗易懂的语言及图形来表达，达到自己的学习目的即可。

第二点困难: 遇到学习的“坑”跳不出。学习过程中很自然地会产生很多的疑问。大学生需要有人指导，社会人员和自学者没人讨论，这很现实。我想把自己教学和学习过程碰到的这些坑整理出来，一一做出通俗的解答分享给大家，帮助大家跳出这些“坑”。

第三点困难: 学习内容太多记不住。微积分的知识涉及面确实比较宽，大家都是成年人，成年人的记忆能力自然比不了少年时代的自己。

为了让大家能通过阅读《人人可懂的微积分—用动态、微观、累加的观点来看待微积分》这本书克服“一恐三难”，我想和大家一起用三个招式应对。

第一招是始终深刻理解学习微积分“动态、微观、累加”六个字的精髓。在后续学习中我还会反复提醒和想办法让大家融会贯通这六个字的精髓。写这本书时，我反复斟酌，想要在“累加”和“累积”之间选一个词语。“微积分”名称中的积字本意就应是“累积、加法求和”的意思，但由于“积”字还可以理解为“乘积”，为免误解，我最终还是选择了“累加”。

第二招是用图形来表达。“一图胜千言”，成年人记忆和理解图形远比文字更容易。

第三招是用例子来加深。请注意跟随这本书中的节奏随时做好例题，理解各种知识点的应用场景。

展开学习微积分的“知识树”

运用三个招式，大家跟随着这本书的讲解按部就班地学习，我会循序渐进地讲解。下面先给出学习微积分的知识树，让大家有个总体认识，再谈谈怎么具体学懂每个知识点。

■ 图4 微积分的知识树

图4中列出了本书的章节安排。这8章是微积分的基本知识，应对大部分的工程应用以及课程过关已经足够。我写的这本书每章将按如下思路展开学习。

首先，开章解惑引人入胜。为了让大家学好每章的知识，在每章的开头用知识树给出每章要学习的主要知识点，然后采用情境导入的方式，以“应用场景”提出核心知识点可以用来做什么，以“问题先导”提出常见的问题。提出问题后再即时解答，给出在本章中如何解开这些困惑，如何通过学习掌握关键的知识。

其次，中途讲解通俗易懂。为了降低微积分的学习难度，在讲解每个知识点时，将尽可能地用“图形+语言”的形式展开，尽可能地回避晦涩难懂的公式讨论、证明推理，将尽可能地以通俗语言表达专业术语，从而凝练成“通俗讲解”。

再次，穿插答疑解惑。在讲解知识点和做计算的过程中，根据平时的教学经验和学生提出的问题，把别人已经踩过的各种学习过程中的“坑”以问题的形式提出来，再马上做出解答。

最后，辅以应用示例。选取日常生活相关、工作结合有关的较易理解的例子，运用所讲解的知识来做应用。

参考书籍

人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分

邓子云编著

内容简介

为实现人人可懂微积分的目标，本书每章从知识树导览开始，帮助读者概览核心知识点，以应用场景激发读者的学习兴趣，通过问题先导的方式，提出并解答常见问题。每章正文部分不仅讲解理论知识，还设置工程应用实例，以强化理论与实践的结合。学习微积分最为关键的就是学到其精髓——“动态、微观、累加”的观点和思维。全书分为8章，包括极限、导数、偏导数、微分、不定积分、定积分、多重积分、常微分方程。以这些内容作为主线，还拓展介绍了无穷级数、极坐标、欧拉公式等知识。本书不仅可供具有初中数学基础的人士阅读，还可供已经进入和即将进入大学的学生、广大工程技术人员、需要参加自学考试者等阅读。

作者简介

长沙商贸旅游职业技术学院副校长、博士、博士后、教授。主持过教育部重点课题、湖南省社科基金重大课题等省级以上重大、重点科研项目8项，纵向、横向累计50余项;主持省级以上职业教育重点项目16项，其中国家级精品课程、共享开放课程各1门。著有一作和独著著作15本;已累计发表学术论文125篇。主笔的研究报告有4篇获得省领导批示。曾获得全国行指委教学成果一等奖、行业科技进步一等奖、湖湘智库优秀成果奖等奖励；获评为湖南省普通高校教学名师、全国及省黄炎培职业教育杰出教师、湖南省科技创新领军人才、湖南省121高层次人才、湖南省学科带头人。主要研究方向：机器学习及大数据技术、高等职业教育。

发布于：北京市

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